数学建模 (第4/7页)

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    如图1所示，我们设警车初始停靠位置在A点，A点是道路1，2，3，4的道路交叉口。我们仅以警车在道路1巡逻为例来进行分析，警车以的速度在道路1上A到点之间巡逻，与初始停靠点A的距离为。由于案件有可能在道路上任一点发生，当警车巡逻到A点时，假设案发现场在道路2，3，4上发生时，警车以40km/h的速度向事发现场行驶，警车能在三分钟内从点赶到现场的最大距离为。如果警车在道路1上继续向前行驶，那么该警车能在三分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车从初始点向A点行驶但没有到达点时，此时该警车的最大管辖范围比警车到达点时的最大管辖范围大。为了使警车的管辖范围尽量大，警车的巡逻范围越小越好，当时，即警车在初始停靠点静止不动时，警车的管辖范围到达最大值。

    图1所分析的是特殊的情况，道路1，2，3，4对称分布，现在我们来对一般的情况进行分析，如图2所示。

    图2.1                                                                                             图2.2

    图2         一辆警车最大管辖范围分析示意图

    图2.1所示的情况是道路分布不对称，与图1相比，图2.1所示的道路方向和角度都发生了改变，图2.3中的情形更为复杂。参照对图1的分析方法，我们分析这两种情形下，警车巡逻时能在三分钟内赶到现场的最大距离的规律，我们只分析图2.2的情况，道路1，2，3，4，5相交于点C,同时道路1与道路6也有个道路交叉口D，   由于警车巡逻时是在道路上行驶的，行走的路线是分段直线,并不影响路径的长度，所以当警车巡逻到距离初始停靠点C点远处的D，此时假设有案件发生时，该警车要在三分钟内能赶到现场处理案件，最大行驶距离在之内，如果警车在道路1上继续向前行驶，那么该警车能在三分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车没有行驶到D点时，此时该警车的最大管辖范围比大，为了使警车的管辖范围尽量大，警车的巡逻范围越小越好。当时，即警车静止不动时，一辆警车的管辖范围能到达最大值。

    以上分析的仅作定性的分析，对于三个重点部位也可以同理分析，所得的结论是一致的，以上的分析没有考虑到90%的到达几率限制，但在设计算法需要充分考虑。

    综上所述，当警车静止在初始停靠点时，在三分钟时间限制内，警车能从初始停靠点赶到事发现场的最大距离为。

    5.1.2      将道路离散化

    由于事发现场是等概率地分布在道路上的，由区域地图可以发现，整个区域中的道路长度不均，为了使计算结果更加精确，可将这些道路离散化。只要选取适宜的离散方案，就能使警车在经过道路上的离散的点时就相当于经过了这条道路。这样，不管是求解警车初始停靠点还求解警车赶到事发现场所经过的道路时，所计算得的的结果显然比仅考虑整条道路的叉路口要精确得多。

    区域中共有307个道路交叉口，458条道路。我们采用线性插值方法对道路进行离散化，以的速度行走一分钟的距离作为步长，一分钟时间的选择是参照问题三的结果要求来设定的，步长。用线性插值的方法，从道路的一个方向进行线性插值，实现将每条道路离散化的目标，考虑到有些道路不是的整数倍，我们就一般情况进行讨论，其分析示意图如图3所示。道路AB长度为个与长度的和，为了更精确处理CB段道路，那么就要考虑在CB之间是否要插入一个新的点，根据的长度不同，其对应的处理方式也有所不同。

    图3         道路离散化分析示意图

    引进临界指数，选取大小的准那么是使尽量离散化后警车等效的平均巡逻速度和题目给定的速度〔〕的差值尽量小，经过计算得时，不再插入新的坐标点时能使整个区域的道路离散效果较好。此时，将CB段长度设定为处理，于是离散后的AB道路长度会比实际长度短些；当时，需要在两个点之间再插入一点，因为这样处理能使整个区域的整体道路的离散化效果比拟理想。如图3所示，在C与B间再插入新的坐标点，插入的位置在距C点的D点处,这样处理后所得的道路长度比实际长度长了。采用这样的方法进行线性插